520 证明题:


D、E、F为△ABC内三点且:
∠CAE=∠FAE=∠BAF,
∠ABF=∠FBD=∠DBC,
∠BCD=∠DCE=∠ECA,
求证:
△DEF为正三角形

<解法 1:>


设∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ,
则:α+β+γ = 60°
∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ)
AF:AB=sinβ:sin(α+β) ,
AB:AC=sin3γ:sin3β,
∴AE:AF=
(ACsinγ/sin(α+γ)):(ABsinβ/sin(α+β)),
而sin3γ:sin3β=
(sinγ·sin(60°+γ)·sin(60°-γ) ):(sinβ·sin(60°+β)·sin(60°-β)),
sin(α+β)·sin(60°-β)=sin(α+γ)·sin(60°-γ),
∴AE:AF=sin(60°+β):sin(60°+γ),
∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,
同理∠CED=60°+α,
∴∠DEF=60°,
同理∠DFE=60°,
∴△DEF为正三角形。

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