X、Y、Z分别为正三角形
ABC¹、ACB¹、BCA¹的中心。
求证：△XYZ为正三角形

作△ABC¹、△ACB¹的外接圆⊙X、⊙Y，
设⊙X、⊙Y的另一交点为O。
连接AO、BO、CO。
易证：∠AOB=∠AOC=120°。
∴∠BOC=120°
∴B、O、C、A¹四点共圆。
作△BCA¹的外接圆⊙Z，
则⊙Z过点O。
设AO交XY于D，BO交XZ于E，
易证X、D、O、E四点共圆,
∴∠X=60°
同理∠Y=∠Z=60°
∴△XYZ为等边三角形.