ABCDEF为⊙O的外切六边形,
求证：
AD、BE、CF交于一点。

延长AB、CD交于M，
延长AF、DE交于N，
则AMDN为圆外切四边形，
由牛顿定理得：
AD、GJ、IL三点共线，设为X。
同理可证：
BE、GJ、HK三点共线，设为Y。
CF、HK、IL三点共线，设为Z。

由弦切角定理易得∠BGJ=∠DJG，
作PS//AB交GJ于S，PT//DE交GJ于T，
则∠PTS=180°-∠DJG=180°-∠BGJ=∠PST，
所以PT=PS，
作PU//CD交LI于U，又因为PT//DE，
则PU/ID=XP/XD=PT/DJ，
由切线长定理知ID=DJ，
所以PU=PT，
作PV//BC交HK于V，
同理可证PV=PS，
所以PU=PT=PS=PV，
因为PU//CI，
所以PC被IU分成的两段之比为PU/CI，
因为PV//CH，
所以PC被HV分成的两段之比为PV/CH，
又因为PU=PV（已证），CI=CH，
所以PU/CI=PV/CH，
即IU、PC的交点与HV、PC的交点重合，
所以IU、PC、HV共点，
又因为CF、HK、IL共点（已证），
所以C、P、F共线，
即AD、BE、CF共点

1.如图作切点A₁、B₁、C₁、D₁、E₁、F₁
2.延长A₁B到G，D₁D到H
延长C₁D到I，F₁F到J
延长B₁B到L，E₁F到K
使A₁G=D₁H=C₁I=F₁J=B₁L=E₁K
3.作⊙₁切AG于G，切EH于H
作⊙₂切CI于I，切AJ于J
作⊙₃切CL于L，切EK于K
由切线长定理易推出GB=BL，HE=KE，
所以BE为圆O1和圆O3的根轴，
同理可证CF为圆O2和圆O3的根轴，
AD为圆O1和圆O2的根轴，
由根心定理知，三个不在一条直线的三个圆的三条根轴必交于一点，
所以AD，BE，CF共点，
得证